Chapitre 02
Cercle trigonométrique
Cercle de rayon 1 centré à l'origine. Un angle orienté θ (depuis l'axe des x, sens positif anti-horaire) donne un point M(θ) sur le cercle.
Définitions
Cosinus et sinusM(θ) = (cos θ ; sin θ)cos θ = abscisse de M, sin θ = ordonnée de M
Tangentetan θ = sin θ / cos θLue sur la tangente verticale en x = 1, pour cos θ ≠ 0
Cercle interactif
Déplace le curseur ou choisis un angle remarquable. Les segments orange, bleu et vert représentent sin, cos et tan.
sin θcos θtan θ
Angle0 rad
sin θ0
cos θ1
tan θ0
Exact
Valeurs remarquables
| Degrés | Radians | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | non défini |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | −1/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | −√3/2 | −√3/3 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −1/2 | −√3/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −√3/2 | −1/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | non défini |
| 300° | 5π/3 | −√3/2 | 1/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | −1/2 | √3/2 | −√3/3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Les lignes surlignées (multiples de 90°) sont les plus fréquentes : sin et cos valent alors 0, 1 ou −1, et la tangente n'est pas définie en π/2 et 3π/2.
Les deux angles π/6 et π/3 sont complémentaires : sin(π/6) = cos(π/3) = 1/2 et cos(π/6) = sin(π/3) = √3/2.
Signes par quadrant
I · 0 à π/2
sin +cos +tan +
Tout est positif.
II · π/2 à π
sin +cos −tan −
Seul le sinus est positif.
III · π à 3π/2
sin −cos −tan +
Seule la tangente est positive.
IV · 3π/2 à 2π
sin −cos +tan −
Seul le cosinus est positif.
Astuce. Le signe de tan θ = sin θ / cos θ : il suffit de multiplier les signes de sin et de cos du même quadrant.
Mini-quiz
Dans quel quadrant est θ si sin θ > 0 et cos θ < 0 ?
Quadrant II (sinus positif, cosinus négatif).
Calcule tan(5π/4)
sin(5π/4) = −√2/2 et cos(5π/4) = −√2/2, donc tan(5π/4) = 1.