Chapitre 04
Équations et inéquations trigonométriques
Repère l'angle de base α sur le cercle, puis lis les solutions : deux points pour sinus et cosinus, une famille par demi-tour pour la tangente.
Équations de base
Sinussin x = aSi |a| ≤ 1 : α = arcsin a ; S = {α + 2kπ} ∪ {π − α + 2kπ}, k ∈ ℤ
Cosinuscos x = aSi |a| ≤ 1 : β = arccos a ; S = {± β + 2kπ}, k ∈ ℤ
Tangentetan x = aa ∈ ℝ, α = arctan a ; S = {α + kπ}, k ∈ ℤ
Cas particuliers à retenir
| Équation | Solutions |
|---|---|
| sin x = 0 | x = kπ |
| sin x = 1 | x = π/2 + 2kπ |
| sin x = −1 | x = −π/2 + 2kπ |
| cos x = 0 | x = π/2 + kπ |
| cos x = 1 | x = 2kπ |
| cos x = −1 | x = π + 2kπ |
Si |a| > 1, l'équation sin x = a ou cos x = a n'a aucune solution (S = ∅).
Méthode
- Isole la fonction trigonométrique (sin, cos ou tan).
- Si l'équation est du second degré en sin x ou cos x, pose une variable auxiliaire et résous l'équation en t.
- Repère α sur le cercle, lis les deux points (sin ou cos) ou la famille (tan).
- Ajoute la période : 2kπ pour sin et cos, kπ pour tan.
- Si on demande un intervalle, impose la condition sur k en fin de calcul.
Exemples résolus
Résoudre
2 sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = 1/2 ⇔ x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ
Résoudre
2cos²x − cos x − 1 = 0. On pose c = cos x : 2c² − c − 1 = (2c + 1)(c − 1) = 0, donc cos x = 1 ou cos x = −1/2.
cos x = 1 ⇒ x = 2kπ ; cos x = −1/2 ⇒ x = ±2π/3 + 2kπ.
cos x = 1 ⇒ x = 2kπ ; cos x = −1/2 ⇒ x = ±2π/3 + 2kπ.
Résoudre
sin x = cos x. Si cos x = 0 alors sin x = 0, impossible ; on peut donc diviser : tan x = 1 ⇒ x = π/4 + kπ.
Résoudre
tan x = −1 ⇒ x = −π/4 + kπ, équivalent à x = 3π/4 + kπ.
Inéquations : la méthode du cercle
Trace le cercle, marque les deux points qui satisfont l'égalité (ou la fonction dépasse la valeur a), puis colorie l'arc qui vérifie l'inégalité. Les bornes sont incluses avec « ≤ » et « ≥ », exclues avec « < » et « > ».
| Inéquation | Ensemble des solutions (modulo 2π, ou π pour tan) |
|---|---|
| sin x > a | ]α ; π − α[ + 2kπ |
| sin x ≥ a | [α ; π − α] + 2kπ |
| sin x < a | ]π − α ; 2π + α[ + 2kπ |
| sin x ≤ a | [π − α ; 2π + α] + 2kπ |
| cos x > a | ]−β ; β[ + 2kπ |
| cos x ≥ a | [−β ; β] + 2kπ |
| cos x < a | ]β ; 2π − β[ + 2kπ |
| cos x ≤ a | [β ; 2π − β] + 2kπ |
| tan x > a | ]α ; π/2[ + kπ |
| tan x < a | ]−π/2 ; α[ + kπ |
α = arcsin a (pour sin), β = arccos a (pour cos), α = arctan a (pour tan).
Exemples d'inéquations
Résoudre
2 sin x − 1 > 0 ⇔ sin x > 1/2. Sur le cercle, α = π/6 et π − α = 5π/6 : S = ]π/6 ; 5π/6[ + 2kπ.
Résoudre
cos x ≤ 1/2. Ici β = π/3, donc S = [π/3 ; 5π/3] + 2kπ.
Résoudre
tan x ≥ 1 avec x ≠ π/2 + kπ. α = π/4 : S = [π/4 ; π/2[ + kπ.
Pièges classiques. (1) Oublier la période : une solution isolée ne suffit pas. (2) Ne pas tenir compte du domaine de tan (cos x ≠ 0). (3) Diviser par une fonction trigonométrique sans vérifier qu'elle ne s'annule pas. (4) Inverser les bornes pour une inéquation en cos : cos est décroissant sur [0 ; π], donc la zone « ≤ » est l'extérieur de l'arc ]−β ; β[.
Exercices à corriger soi-même
1. Résous sin x = −√2/2
Angle de base α = −π/4 (ou 7π/4). Solutions : x = −π/4 + 2kπ ou x = 5π/4 + 2kπ.
2. Résous 2 cos x + √3 = 0
cos x = −√3/2 ⇒ x = ±5π/6 + 2kπ.
3. Résous sin x < 0 sur [0 ; 2π[
Le sinus est négatif sur ]π ; 2π[ : S = ]π ; 2π[.
4. Résous cos x ≥ −1/2 sur [0 ; 2π[
β = 2π/3, la zone est [0 ; 2π/3] ∪ [4π/3 ; 2π[.