Chapitre 05
Factoriser en trigonométrie
Une équation qui se factorise devient une liste d'équations simples : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Le principe
Produit nulA(x) · B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 ou B(x) = 0Résous chaque facteur séparément, puis réunis les ensembles de solutions.
Règle d'or. Ne divise jamais par sin x ou cos x pour simplifier une équation : tu perds les solutions où ce facteur s'annule. Factorise plutôt, puis traite chaque facteur.
Astuces
- Tout à gauche, zéro à droite. Factorise seulement une expression égale à 0.
- Mise en évidence. Cherche le facteur commun sin x ou cos x avant toute division.
- Différence de carrés. sin²x − cos²x = (sin x − cos x)(sin x + cos x).
- Carré parfait. Une racine double donne une seule famille de solutions.
- Substitution. Pose t = sin x ou t = cos x, résous en t, puis rejette |t| > 1.
- Identité d'abord. Transforme sin 2x, cos 2x avant de factoriser.
- Angle multiple. Pour cos(2x) = a, résous 2x puis divise les solutions par 2.
- Tableau de signes. Pour une inéquation factorisée, lis le signe de chaque facteur sur le cercle.
Mise en évidence
Résoudre
sin x · (2 cos x − 1) = 0 ⇔ sin x = 0 ou cos x = 1/2.
sin x = 0 ⇒ x = kπ ; cos x = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2kπ.
sin x = 0 ⇒ x = kπ ; cos x = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2kπ.
Résoudre
2 sin x cos x − cos x = 0 ⇔ cos x (2 sin x − 1) = 0.
cos x = 0 ⇒ x = π/2 + kπ ; sin x = 1/2 ⇒ x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ.
cos x = 0 ⇒ x = π/2 + kπ ; sin x = 1/2 ⇒ x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ.
Piège
sin x = 2 sin x cos x. Ne divise pas par sin x : écris sin x (1 − 2 cos x) = 0, puis x = kπ ou cos x = 1/2, soit x = kπ ou x = ±π/3 + 2kπ.
Différence de carrés
Résoudre
sin²x − cos²x = 0 ⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x) = 0.
sin x = cos x ⇒ x = π/4 + kπ ; sin x = −cos x ⇒ x = 3π/4 + kπ.
Ensemble : x = π/4 + kπ/2.
sin x = cos x ⇒ x = π/4 + kπ ; sin x = −cos x ⇒ x = 3π/4 + kπ.
Ensemble : x = π/4 + kπ/2.
Ici on n'a pas divisé : on a factorisé. Quand on écrit tan x = 1 puis tan x = −1, on a implicitement cos x ≠ 0, ce qui est justifié car si cos x = 0 alors sin x = 0 aussi, impossible.
Identité sin 2x et cos 2x
Ce sont les deux formes utiles : sin 2x = 2 sin x cos x, et cos 2x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x = cos²x − sin²x.
Résoudre
sin 2x = sin x ⇔ 2 sin x cos x − sin x = 0 ⇔ sin x (2 cos x − 1) = 0.
sin x = 0 ⇒ x = kπ ; cos x = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2kπ.
sin x = 0 ⇒ x = kπ ; cos x = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2kπ.
Résoudre
cos 2x + cos x = 0 ⇔ 2cos²x − 1 + cos x = 0 ⇔ 2c² + c − 1 = (2c − 1)(c + 1) = 0, avec c = cos x.
c = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2kπ ; c = −1 ⇒ x = π + 2kπ.
c = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2kπ ; c = −1 ⇒ x = π + 2kπ.
Carré parfait
Résoudre
4 sin²x − 4 sin x + 1 = 0 ⇔ (2 sin x − 1)² = 0 ⇔ sin x = 1/2.
Racine double : une seule famille de solutions. x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ.
Racine double : une seule famille de solutions. x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ.
Substitution
Pose t = cos x (ou sin x), résous le trinôme en t, puis reviens à x. Rejette toute valeur de t hors de [−1 ; 1].
Résoudre
sin²x + sin x − 2 = 0. Pose t = sin x : t² + t − 2 = (t + 2)(t − 1) = 0.
t = −2 est impossible (|t| > 1). Reste t = 1 ⇒ x = π/2 + 2kπ.
t = −2 est impossible (|t| > 1). Reste t = 1 ⇒ x = π/2 + 2kπ.
Résoudre
2 cos²x + cos x − 1 = 0. Pose c = cos x : (2c − 1)(c + 1) = 0.
c = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2kπ ; c = −1 ⇒ x = π + 2kπ.
c = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2kπ ; c = −1 ⇒ x = π + 2kπ.
Angles multiples
Pour sin(ax + b) ou cos(ax + b), la période change : elle vaut 2π/|a|. Résous d'abord en ax, puis divise par a.
Résoudre
cos 2x = 1/2 ⇔ 2x = ±π/3 + 2kπ ⇔ x = ±π/6 + kπ.
Résoudre
sin(3x) = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x = kπ/3.
Inéquations factorisées
Factorise, établis le signe de chaque facteur sur le cercle, puis multiplie les signes (tableau de signes).
Résoudre sur [0 ; 2π[
sin x · cos x > 0.
sin x = 0 en 0 et π ; cos x = 0 en π/2 et 3π/2.
Signes : ]0 ; π/2[ → (+)(+) ; ]π/2 ; π[ → (+)(−) ; ]π ; 3π/2[ → (−)(−) ; ]3π/2 ; 2π[ → (−)(+).
Solution : ]0 ; π/2[ ∪ ]π ; 3π/2[.
sin x = 0 en 0 et π ; cos x = 0 en π/2 et 3π/2.
Signes : ]0 ; π/2[ → (+)(+) ; ]π/2 ; π[ → (+)(−) ; ]π ; 3π/2[ → (−)(−) ; ]3π/2 ; 2π[ → (−)(+).
Solution : ]0 ; π/2[ ∪ ]π ; 3π/2[.
Résoudre sur [0 ; 2π[
2 sin²x − sin x − 1 ≤ 0 ⇔ (2 sin x + 1)(sin x − 1) ≤ 0.
Avec t = sin x : (2t + 1)(t − 1) ≤ 0 ⇔ −1/2 ≤ t ≤ 1.
sin x < −1/2 seulement sur ]7π/6 ; 11π/6[, donc solution : [0 ; 7π/6] ∪ [11π/6 ; 2π[.
Avec t = sin x : (2t + 1)(t − 1) ≤ 0 ⇔ −1/2 ≤ t ≤ 1.
sin x < −1/2 seulement sur ]7π/6 ; 11π/6[, donc solution : [0 ; 7π/6] ∪ [11π/6 ; 2π[.
Résoudre
cos²x − cos x < 0 ⇔ cos x (cos x − 1) < 0. Comme cos x − 1 ≤ 0 et vaut 0 seulement en x = 2kπ : il faut cos x > 0 avec x ≠ 2kπ.
Solution : ]−π/2 ; 0[ ∪ ]0 ; π/2[ + 2kπ.
Solution : ]−π/2 ; 0[ ∪ ]0 ; π/2[ + 2kπ.
Contrôle final. Remplace une solution trouvée dans l'équation d'origine. Si tu obtiens une égalité fausse, tu as probablement perdu ou ajouté une famille (souvent à cause d'une division ou d'une substitution non rejetée).
Exercices à corriger soi-même
1. Résous cos x · (sin x + 1) = 0
cos x = 0 ⇒ x = π/2 + kπ. sin x = −1 ⇒ x = −π/2 + 2kπ, déjà contenu dans π/2 + kπ. Solution : x = π/2 + kπ.
2. Résous sin²x = sin x
sin x (sin x − 1) = 0 ⇒ sin x = 0 ⇒ x = kπ ; sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2kπ.
3. Résous 2 cos²x − 3 cos x + 1 = 0
(2c − 1)(c − 1) = 0 avec c = cos x ⇒ c = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2kπ ; c = 1 ⇒ x = 2kπ.
4. Résous sin x (2 cos x + 1) ≥ 0 sur [0 ; 2π[
Signe de sin x : + sur ]0 ; π[, − sur ]π ; 2π[. Signe de 2cos x + 1 : + sur [0 ; 2π/3[ ∪ ]4π/3 ; 2π[, − sur ]2π/3 ; 4π/3[. Produit : + sur [0 ; 2π/3[, − sur ]2π/3 ; π[, + sur ]π ; 4π/3[, − sur ]4π/3 ; 2π[. Zéros à garder : 0, 2π/3, π, 4π/3. Solution : [0 ; 2π/3] ∪ [π ; 4π/3].