Chapitre 01
Produits remarquables
Ces identités se développent sans effort une fois reconnues. Lues de droite à gauche, elles servent à factoriser.
Les identités de base
Carré d'une somme(a + b)² = a² + 2ab + b²
Carré d'une différence(a − b)² = a² − 2ab + b²
Somme par différence(a + b)(a − b) = a² − b²
Cubes
Cube d'une somme(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Cube d'une différence(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Somme et différence de cubes
Somme de cubesa³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Différence de cubesa³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Retiens le signe du second facteur : a² − ab + b² pour une somme de cubes, a² + ab + b² pour une différence.
Carré d'un trinôme
Carré d'un trinôme(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
Chaque terme est élevé au carré, puis chaque produit de deux termes apparaît une fois, doublé.
Exemples résolus
Développer
(3x + 2)² = (3x)² + 2 · 3x · 2 + 2² = 9x² + 12x + 4
Développer
(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25
Développer
(x − 3)³ = x³ − 3·x²·3 + 3·x·3² − 3³ = x³ − 9x² + 27x − 27
Factoriser
8x³ − 1 = (2x)³ − 1³ = (2x − 1)(4x² + 2x + 1)
Factoriser
x² + 10x + 25 = x² + 2 · x · 5 + 5² = (x + 5)²
Méthode. Pour reconnaître une identité, cherche d'abord deux carrés (a² et b²) puis vérifie que le terme central vaut bien ±2ab. Si oui, c'est un carré ; sinon, essaie une différence de carrés.
Factorisations
Factoriser, c'est écrire une somme comme un produit de facteurs. Procède dans cet ordre :
- Mise en évidence d'un facteur commun (toujours en premier).
- Deux termes : différence de carrés ou de cubes.
- Trois termes : carré parfait, ou trinôme par produit-somme.
- Quatre termes ou plus : regroupement par paires.
- Vérifie en redéveloppant.
1. Facteur commun
Factoriser
6x² − 9x = 3x · 2x − 3x · 3 = 3x(2x − 3)
Factoriser
2x³ − 8x = 2x(x² − 4) = 2x(x − 2)(x + 2)
Mise en évidence double
(x + 2)(x − 1) + 3(x + 2) = (x + 2)(x − 1 + 3) = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)²
Facteur négatif
−x² + 4 = −(x² − 4) = −(x − 2)(x + 2)
2. Différence de carrés et de cubes
Factoriser
4x² − 49 = (2x)² − 7² = (2x − 7)(2x + 7)
Factoriser
x⁴ − 1 = (x² − 1)(x² + 1) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1)
Factoriser
8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9)
Le facteur x² + 1 ne se factorise pas dans ℝ : il est déjà irréductible.
3. Carré parfait
Factoriser
4x² − 12x + 9 : (2x)² et 3² sont des carrés, et 2 · 2x · 3 = 12x. Donc 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)²
4. Trinôme x² + bx + c (produit-somme)
On cherche deux nombres de produit c et de somme b.
Factoriser
x² + 5x + 6 : 2 · 3 = 6 et 2 + 3 = 5, donc (x + 2)(x + 3)
Factoriser
x² − x − 12 : 4 · (−3) = −12 et 4 + (−3) = 1 ; comme la somme doit valoir −1, prends −4 et 3 : (x − 4)(x + 3)
5. Trinôme ax² + bx + c (méthode de décomposition)
Factoriser
2x² + 7x + 3 : ac = 6, et 6 + 1 = 7. Donc 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(2x + 1)
Factoriser
3x² − 5x − 2 : ac = −6, et −6 + 1 = −5. Donc 3x² − 6x + x − 2 = 3x(x − 2) + (x − 2) = (x − 2)(3x + 1)
6. Regroupement par paires
Factoriser
x³ + 2x² − 3x − 6 = x²(x + 2) − 3(x + 2) = (x + 2)(x² − 3)
Factoriser
x³ − 4x² + 3x − 12 = x²(x − 4) + 3(x − 4) = (x − 4)(x² + 3)
Vérification. Redéveloppe toujours le résultat : si tu retrouves l'expression de départ, la factorisation est juste. Un facteur qui ne se factorise plus (comme x² + 3 ou x² + 1 dans ℝ) s'arrête là.
Exercices de factorisation
1. Factorise 5a² − 10a
5a(a − 2)
2. Factorise x² − 36
(x − 6)(x + 6)
3. Factorise 9y² + 6y + 1
(3y + 1)², carré parfait : 2 · 3y · 1 = 6y.
4. Factorise x² + x − 20
(x + 5)(x − 4) : 5 · (−4) = −20 et 5 − 4 = 1.
5. Factorise 3x² − 5x − 2
(x − 2)(3x + 1) : ac = −6 ; −6 + 1 = −5, d'où 3x² − 6x + x − 2.
6. Factorise 1 − 8x³
1³ − (2x)³ = (1 − 2x)(1 + 2x + 4x²).
7. Factorise 2x³ − 6x² + 4x − 12
2x²(x − 3) + 4(x − 3) = (x − 3)(2x² + 4) = 2(x − 3)(x² + 2).
Exercices à corriger soi-même
1. Factorise 9x² − 16
(3x)² − 4² = (3x − 4)(3x + 4)
2. Factorise 27 − 8y³
27 = 3³ et 8y³ = (2y)³, donc 3³ − (2y)³ = (3 − 2y)(9 + 6y + 4y²)
3. Développe (2a − b)²
4a² − 4ab + b²
4. Calcule 99² sans calculatrice
99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801