Chapitre 03
Équivalences trigonométriques
Les identités qui relient sin, cos et tan entre elles, et les formules qui ramènent tout angle au premier quadrant.
Identités fondamentales
Identité fondamentalesin²x + cos²x = 1Vraie pour tout x réel
Tangentetan x = sin x / cos xPour cos x ≠ 0, c'est-à-dire x ≠ π/2 + kπ
Tangente au carré1 + tan²x = 1 / cos²xPour cos x ≠ 0
Cotangentecot x = cos x / sin x = 1 / tan xPour sin x ≠ 0
En combinaison avec l'identité fondamentale : sin²x = 1 − cos²x et cos²x = 1 − sin²x. Ces deux formes servent souvent à remplacer un terme par l'autre.
Parité et périodicité
| Propriété | Formule | Nom |
|---|---|---|
| Parité du cosinus | cos(−x) = cos x | fonction paire |
| Imparité du sinus | sin(−x) = −sin x | fonction impaire |
| Imparité de la tangente | tan(−x) = −tan x | fonction impaire |
| Périodicité sin, cos | sin(x + 2kπ) = sin x ; cos(x + 2kπ) = cos x | période 2π |
| Périodicité tan | tan(x + kπ) = tan x | période π |
Formules de réduction
Chaque angle associé à x s'obtient par une symétrie ou une rotation d'un demi-tour sur le cercle. Retiens la logique plutôt que la liste : à partir de x, on regarde où tombe le point image.
| Angle | Position | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| π − x | symétrique par rapport à l'axe y | sin x | −cos x | −tan x |
| π + x | opposé (demi-tour) | −sin x | −cos x | tan x |
| 2π − x | symétrique par rapport à l'axe x | −sin x | cos x | −tan x |
| π/2 − x | symétrique par rapport à la droite y = x | cos x | sin x | 1/tan x |
| π/2 + x | rotation d'un quart de tour | cos x | −sin x | −1/tan x |
Repère. Les formules avec π/2 changent le nom : sin devient cos et inversement. Celles avec π, 2π ou −x gardent le nom.
Exemples
Réduire
sin(5π/6) = sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2
Réduire
cos(7π/6) = cos(π + π/6) = −cos(π/6) = −√3/2
Réduire
sin(π/2 + x) = cos x ; tan(π − x) = −tan x
Simplifier
(1 − cos²x) / sin x = sin²x / sin x = sin x (pour sin x ≠ 0)
Prouver
(1 + tan²x) cos²x = (1 / cos²x) · cos²x = 1 (pour cos x ≠ 0)
Exercices à corriger soi-même
1. Calcule cos(2π/3) à l'aide d'une réduction
2π/3 = π − π/3, donc cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2.
2. Si sin x = 3/5 et x ∈ ]0 ; π/2[, calcule cos x
cos²x = 1 − 9/25 = 16/25, et cos x > 0 donc cos x = 4/5.
3. Simplifie (sin x + cos x)² + (sin x − cos x)²
= sin²x + 2 sin x cos x + cos²x + sin²x − 2 sin x cos x + cos²x = 2(sin²x + cos²x) = 2.
Piège. Quand tu divises par une expression en x, vérifie qu'elle n'est jamais nulle sur l'ensemble où tu travailles ; sinon tu perds des solutions ou tu rends une égalité fausse.